积分变换-拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
定义
\[D(f) = [0, +\infty), Ran(f) \in \R, s = \beta +\mathrm{j}\omega\] \[F(s) = \mathscr{L} \left[ f(t) \right] = \int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-st} \mathrm{d} t\]为 $F(s)$ 的拉普拉斯变换，并仿照傅里叶变换作出逆变换、象原函数、象函数的定义
\[f(t) = \mathscr{L}^{-1} \left[ F(s) \right] = \frac{1}{2\pi\mathrm{j}} \int_{\beta - \mathrm{j}\infty}^{\beta + \mathrm{j}\infty} F(s)\mathrm{e}^{st} \mathrm{d}s\]称为反演积分公式，积分为反演积分
$f(t)$ 和 $F(s)$ 构成拉普拉斯变换对
\[f(t) \leftrightarrow F(s)\]傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系
\[F(s) = \mathscr{L} \left[ f(t) \right] = \mathscr{F}\left[ f(t) \mathrm{e}^{-\beta t} H(t) \right]\]拉普拉斯变换的存在定理
$f(t)$ 需要满足
- $ t \geq 0 $ 上分段连续
- $ \lvert f(t) \rvert \leq M \mathrm{e}^{ct}, t \in [0, +\infty] $
在平面 $\Re (s) \gt 0$ 存在，且是关于 $s$ 的解析函数
周期函数的拉普拉斯变换
\[F(s) = \frac{1}{1-\mathrm{e}^{-sT}} \int_0^T f(t) \mathrm{e}^{-st} \mathrm{d}t\]拉式变换对
\[\mathrm{e}^{at} \leftrightarrow \frac{1}{s-a}\] \[\sin at \leftrightarrow \frac{a}{s^2+a^2} \\ \ \\ \cos at \leftrightarrow \frac{s}{s^2+a^2}\] \[\delta(t-a) \leftrightarrow e^{-sa} \\ \delta(t) \leftrightarrow 1 \\ a \geq 0\] \[t^m \leftrightarrow \frac{\Gamma (m+1)}{s^{m+1}}, \Re s \gt 0\]拉普拉斯变换的性质
线性性
相似性质
\[\forall a \gt 0, \\ \mathscr{L} \left[ f(at) \right] = \frac{1}{a} F(\frac{s}{a})\]微分性质
导数的象函数
\[\mathscr{L} \left[ f^\prime (t) \right] = sF(s) - f(0)\]并且
\[\mathscr{L} \left[ f^{(n)}(t) \right] = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)\]象函数的导数
\[\mathscr{L} \left[ tf(t) \right] = -F^\prime(s)\]并且
\[\mathscr{L} \left[ t^n f(t) \right] = (-1)^n F^{(n)}(s)\]积分性质
积分的象函数
\[\mathscr{L} \left[ \int_0^t f(t) \mathrm{d} t \right] = \frac{1}{s} F(t)\]并且
\[\mathscr{L} \left[ \int_0^t \mathrm{d} t \int_0^t f(t) \mathrm{d} t \right] = \frac{1}{s^2} F(t) \\ \ldots\]象函数的积分
\[\mathscr{L} \left[ f(t) / t \right] = \int_s^\infty F(s) \mathrm{d} s\]并且
\[\mathscr{L} \left[ f(t) / t^2 \right] = \int_s^\infty \mathrm{d} s \int_s^\infty F(s) \mathrm{d} s \\ \ldots\]位移性质
\[\mathscr{L} \left[ \mathrm{e}^{\mathrm{j} a} f(t) \right] = F(s - a)\]延迟性质
\[\mathscr{L} \left[ f(t - \tau)H(t - \tau) \right] = \mathrm{e}^{-s\tau} F(s)\]卷积与卷积定理
\[f(t) * g(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) \mathrm{d} \tau\] \[\mathscr{L} \left[ f(t) * g(t) \right] = F(s)G(s)\]逆变换
反演积分
展开定理
\[f(t) = \sum_{k = 1}^n \text{Res} \left( F(s)\mathrm{e}^{st}, s_k \right)\]以上需要满足 $ s \to \infty, \ F(s) \to 0 $
应用
解微分方程
给出一系列初值的问题，进行正变换求解后再对解进行逆变换