傅里叶级数与傅里叶变换

$f(t)$ 为 $\mathbb{R}$ 上定义的实值函数，在有限区间 $[-l, l]$ 内满足狄利克雷条件

  1. 连续或至多有有限个间断点（跳跃间断点或可去间断点）
  2. 至多有有限个极值

则 $f(t)$ 在区间内的连续点展开为

\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left(a_n \cos \frac{n\pi t}{l} + b_n \sin \frac{n\pi t}{l} \right)\] \[a_0 = \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(\tau)\mathrm{d}\tau \\ \ \\ a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(\tau)\cos \frac{n\pi \tau}{l} \mathrm{d}\tau \\ \ \\ b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(\tau)\sin \frac{n\pi \tau}{l} \mathrm{d}\tau\]

在间断点处的级数值应该等于 $\dfrac{1}{2}\left(f(t^{-}) + f(t^{+})\right)$

设 $f(t)$ 在 $\mathbb{R}$ 绝对可积

\[\int_{-\infty}^{+\infty} \lvert f(\tau) \rvert \mathrm{d}\tau \lt + \infty\]

于是

\[l \to +\infty, a_0 \to 0\]

在连续点上就有

\[f(t) = \lim_{l\to +\infty} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(\tau)\cos \frac{n\pi (t- \tau)} {l} \mathrm{d}\tau\]

记 $\omega_0 = \dfrac{\pi}{l}, \ \omega_n = n\omega_0, \ \Delta \omega_n = \omega_{n+1} - \omega_{n}$

于是上面的极限变为

\[g_l(\omega) = \int_{-l}^l f(\tau)\cos \omega(t-\tau) \mathrm{d}\tau\]

的积分和的极限，经过一些代入得到

\[f(t) = \frac{1}{\pi}\int_0^{+\infty}\mathrm{d}\omega\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\cos \omega (t-\tau) \mathrm{d} \tau\]

运用欧拉公式可以将其变成复数形式

\[f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega \tau}\mathrm{d}\tau\right] \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\tau\]

引入新函数

\[\hat{f}(\omega)=\mathscr{F}\left[f(t)\right] = \int_{-\infty}^\infty f(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega \tau} \mathrm{d}\tau\]

称为函数 $f(t)$ 的傅里叶变换

傅里叶积分定理

若 $f(t)$ 在 $\mathbb{R}$ 绝对可积，且在任意有限区间 $(-l, l)$ 内满足狄利克雷条件，则在连续点满足

\[f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega \tag{\text{inv}}\]

在间断点满足

\[f(t) = \frac{1}{2} \left[f(t^{-}) + f(t^{+})\right]\]

上述的式inv也可称为傅里叶逆变换 $f(t) = \mathscr{F}^{-1} \left[\hat{f}(\omega)\right] $

$f(t)$ 称为象原函数，$\hat{f}(\omega)$ 称为象函数

不考虑间断的话，他们具有一一对应的关系，即

\[f(t) \leftrightarrow \hat{f}(\omega)\]

这被称为一个傅里叶变换对

对称公式

\[\hat{\hat{f}}(t) = \mathscr{F}\left[\hat{f}(\omega)\right] = \begin{cases} 2\pi f(-t), & \text{AT CONTINUE POINT} \\ \pi(f(t^{-}) + f(t^{+})), & \text{ELSE} \end{cases}\]

于是有以下另一个傅里叶变换对

\[\hat{f}(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\omega)\]

单边衰减函数

\[f(t) = \begin{cases} \mathrm{e}^{-\beta t}, & t \geq 0 \\ 0, & t \lt 0 \\ \end{cases} , \ \beta \gt 0\] \[\hat{f}(\omega) = \mathscr{F}\left[f(t)\right] = \frac{\beta - \mathrm{j}\omega}{\beta^2 + \omega^2}\]

由

\[\mathscr{F}^{-1}\left[\hat{f}(\omega)\right] = \begin{cases} f(t), & t \neq 0 \\ \dfrac{1}{2} \left[f(0^{-}) + f(0^{+})\right], & t = 0 \end{cases}\]

得

\[\int_0^{+\infty} \frac{\beta\cos\omega t + \omega\sin\omega t}{\beta^2 + \omega^2} \mathrm{d}\omega = \mathscr{F}^{-1}\left[\hat{f}(\omega)\right] = \begin{cases} 0, & t \lt 0 \\ \pi / 2, & t = 0 \\ \pi \mathrm{e}^{- \beta t}, & t \gt 0 \end{cases}\]

矩形脉冲函数

\[f(t) = \begin{cases} 1, & \lvert t \rvert \leq a, \\ 0, & \lvert t \rvert \gt a \end{cases} , \ a \gt 0\] \[\hat{f}(t) = \mathscr{F}\left[f(t)\right] = \int_{-a}^a \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t} \mathrm{d}t = \frac{2\sin a\omega}{\omega}\] \[\begin{aligned} \mathscr{F}^{-1}\left[ \hat{f}(\omega) \right] &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2\sin a\omega}{\omega} \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} \mathrm{d}\omega \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\omega}\sin a\omega \cos \omega t \mathrm{d} \omega + \frac{\mathrm{j}}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\omega} \sin a\omega \sin \omega t \mathrm{d} \omega \\ &= \begin{cases} f(t), & \lvert t \rvert \neq a, \\ \dfrac{1}{2} \left[f(\pm a^{-}) + f(\pm a^{+})\right], & \lvert t \rvert = a \end{cases} \end{aligned}\]

即

\[\int_0^{+\infty} \frac{1}{\omega}\sin a\omega \cos \omega t \mathrm{d} \omega = \begin{cases} \pi / 2, & \lvert t \rvert \lt a \\ \pi / 4, & \lvert t \rvert = a \\ 0, & \lvert t \rvert \gt a \end{cases}\]

取 $t = 0, \ a = 1$ 我们有狄利克雷积分

\[\int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega}{\omega} \mathrm{d} \omega = \frac{\pi}{2}\]

傅里叶积分定理为这类难以求出/无法求出原函数的积分提供了定义值的方法

频谱

以下是傅里叶级数的复指数形式

\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_n \mathrm{e}^{\mathrm{j} n\omega t} \\ \begin{cases} C_0 = \dfrac{a_0}{2} = \dfrac{1}{2l} \int_{-l}^l f(\tau) \mathrm{d}\tau, \\ \ \\ C_n = \dfrac{a_n - \mathrm{j}b_n}{2} = \dfrac{1}{2l} \int_{-l}^l f(\tau) \mathrm{e}^{- \mathrm{j} n \omega \tau} \mathrm{d}\tau \\ \ \\ C_{-n} = \dfrac{a_n + \mathrm{j}b_n}{2} = \frac{1}{2l}\int_{-l}^l f(\tau) \mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega\tau} \mathrm{d} \tau \end{cases}\]

记

\[\begin{aligned} A_0 & = C_0 \\ A_n &= 2\lvert C_n \rvert = 2 \lvert C_{-n} \rvert \\ \cos \varphi_n &= \frac{a_n}{A_n} \\ \sin \varphi_n &= - \frac{b_n}{A_n} \\ \varphi_n &= \arg C_n = -\arg C_{-n} \end{aligned}\]

对以 $T=2l$ 的周期函数可分解为有限数量的正弦波(谐波)

\[X_n (t) = A_n \cos(n\omega t + \varphi_n)\]

$n=1$ 时的谐波称为基波，角频率 $\omega$ 为基频

n次谐波的角频率为 $n\omega$

振幅 $A_n$ 反映了谐波在 $f(t)$ 中所占的比重

$\varphi_n$ 表示 n 次谐波沿时间轴所移动的距离

$A_n$ 称为频谱

频谱图为 $A_n - n\omega$ 图

显然，周期函数的频谱是离散的

$\varphi_n = \arg C_n$ 称相位频谱

由傅里叶逆变换知道，非周期函数包含了从零到无穷大所有频率的分量，$\hat{f}(\omega)$ 是各频率分量的分布密度，即为频谱密度函数， $\lvert \hat{f}(\omega) \rvert$ 称振幅频谱，简称为频谱

频谱还有以下性质

  1. 频谱 $\lvert \hat{f}(\omega) \rvert$ 是角频率 $\omega$ 的偶函数
  2. 相位频谱 $\varphi(\omega)$ 是角频率的奇函数，但 $b(\omega) = 0$ 时是例外

Dirac函数 - $\delta$ 函数 - 单位脉冲函数

定义1

$\delta$ 函数定义在 $\mathbb{R}$ 且满足

  1. \[\delta(t - t_0) = \begin{cases} +\infty, & t = t_0 \\ 0, & t \neq t_0 \end{cases}\]
  2. $\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0) \mathrm{d} t = 1$

Dirac函数的奇异性发生在 $t_0$ 的邻域中，就是说

\[\int_a^b \delta(t-t_0) \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0) \mathrm{d}t = 1, \ a \lt t_0 \lt b \\ \int_a^b \delta(t-t_0) \mathrm{d}t = 0, \ a \lt b \lt t_0 \ \text{or} \ t_0 \lt a \lt b\]

定义2 筛选性质

\[\forall \varphi(t) \in C[a, b], \ \int_a^b \delta(t - t_0) \varphi(t) \mathrm{d}t = \varphi(t_0), a \leq t_0 \leq b\]

$\delta$ 函数的积分值称为其冲激强度，函数 $A\delta(t - t_n)$ 的冲激强度为 $A$

其他有用的性质

$\delta$ 函数与普通函数乘积的积分仍可形式地进行分部积分和变量代换

引理1

$f(t)$ 为广义函数

\[\forall \varphi \in C[a, b], \int_a^b f(t)\varphi(t) \mathrm{d} t = 0 \implies f(t) = 0, t \in (a, b)\]

性质1 $\delta(t)$ 是偶函数

性质2

\[\alpha(t) \in C(B_r(t_0)), \alpha(t)\delta(t - t_0) = \alpha(t_0)\delta(t - t_0)\]

这也是筛选性质的体现

性质3

\[H^\prime(t) = \delta(t)\]

单位阶跃函数，或海维赛函数如下

\[H(t) = \begin{cases} 1, & t \geq 0 \\ 0, & t \lt 0 \end{cases}\]

性质4 $\delta$ 函数有任意阶导数

\[\int_{-\infty}^{+\infty} \delta^{(n)}(t-t_0) \varphi(t) \mathrm{d}t = (-1)^n \varphi^{(n)}(t_0)\]

性质5 $\delta$ 函数的傅里叶变换

\[\mathscr{F}\left[ \delta(t-t_0) \right] = \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t} \mathrm{d} t \\ \mathscr{F}^{-1}\left[ \delta(\omega-\omega_0) \right] = \frac{1}{2\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_0 t}\]

使 $t_0 = 0, \omega_0 = 0$

\[\hat{\delta}(\omega) = 1 \\ \hat{1} = 2\pi \delta(\omega)\] \[\begin{cases} \delta(t-t_0) \leftrightarrow \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_0} \\ \delta(t) \leftrightarrow 1 \end{cases}\] \[\begin{cases} \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_0 t} \leftrightarrow 2\pi\delta(\omega - \omega_0) \\ 1 \leftrightarrow 2\pi \delta(\omega) \end{cases}\]

单位阶跃函数的傅里叶变换

\[H(t) \leftrightarrow \frac{1}{\mathrm{j}\omega} + \pi\delta(\omega)\]

傅里叶变换的性质

线性性

位移性质

设

\[\hat{f}(\omega) = \mathscr{F}\left[ f(t) \right]\]

则

\[\mathscr{F}\left[ f(t-t_0) \right] = \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_0} \hat{f}(\omega) \\ \mathscr{F}^{-1}\left[ \hat{f}(\omega - a) \right] = \mathrm{e}^{\mathrm{j}a t} f(t)\]

这说明，当一个函数沿时间轴移动后，它的振幅频谱不发生变化，但相位频谱发生变化

相似性质

若

\[\hat{f}(\omega) = \mathscr{F}\left[ f(t) \right]\]

则

\[\mathscr{F}\left[ f(at) \right] = \frac{1}{\lvert a \rvert} \hat{f}(\omega/a)\]

翻转公式

取 $a=1$

\[\mathscr{F}\left[ f(-t) \right] = \hat{f}(-\omega)\]

微分性质

若 $t\to\infty, f(t) \to 0$

\[\mathscr{F}\left[ f^\prime(t) \right] = \mathrm{j}\omega\hat{f}(\omega) \\ \mathscr{F}\left[ -\mathrm{j}tf(t) \right] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega}\hat{f}(\omega)\]

第二个式子称为象函数的导数公式

推论

若

\[\lim_{t\to\infty} f^{(k)} t = 0, k = 0,1,\cdots,n-1\]

则

\[\mathscr{F}\left[ f^{(n)} \right] = (\mathrm{j}\omega)^n \hat{f}(\omega)\] \[\frac{\mathrm{d}^n \hat{f}(\omega)}{\mathrm{d}\omega^n} = (-\mathrm{j})^n \mathscr{F}\left[ t^nf(t) \right]\]