大学物理III-14电场
库仑定律
\[\vec{F} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}\vec{e}_r\]其中 $\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \mathrm{C^{2} \cdot N^{-1} \cdot m^{-2}}$ 称为真空介电常量
在高中我们用过的库仑力中的比例系数 $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \times 10^{9} \mathrm{N \cdot m^2 \cdot C^{-2}}$
电场强度
\[\begin{aligned} \vec{E} &= \frac{\vec{F}}{q_0} \\ & = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\vec{e}_r \ \text{点电荷} \\ & = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac{\mathrm{d}q}{r^2} \vec{e}_{r} \ \text{点电荷连续分布} \end{aligned}\]定义以下电荷密度
- $\rho$ 体密度
- $\sigma$ 面密度
- $\lambda$ 线密度
于是电荷的微元可以是
\[\begin{aligned} \mathrm{d}q &= \rho \mathrm{d}V \\ & = \sigma \mathrm{d}S \\ & = \lambda \mathrm{d}l \end{aligned}\]电荷在电场中的受力
根据电场强度的定义式可知
\[\vec{F} = q\vec{E}\] \[\vec{F} = \int \vec{E}\mathrm{d}q\]电偶极子
一堆带电相反的电荷
定义电矩 $\vec{p}$
\[\vec{p} = q\vec{l}\]外电场对电偶极子的作用
\[\vec{F} = 0 \\ \vec{M} = \vec{p} \times \vec{E}\]电场强度通量
微元定义
\[\mathrm{d}\Phi_e = E\mathrm{d}S\cos \theta = \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\]容易看出这是个标量
定义 $\mathrm{d}S_{\bot}$ 为 $\mathrm{d}S$ 在垂直于场强方向上的投影面积
所以
\[\Phi_e = \int \mathrm{d}\Phi_e = \int_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \oint \vec{E}\mathrm{d}\vec{S}\]电场中的高斯定理
\[\Phi_e = \oiint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{i=1} q_i\]或者说
\[\oiint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho \mathrm{d}V\]可以描述为：在通过该闭合曲面的电场通量，与场源所发出的守恒
显然的，如果闭合面 $S$ 不包围任何电荷，那么 $\Phi_e = 0$
常见带电形体的电场分布
均匀带电球面
\[E = \begin{cases} \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{q}{r^2} \ & (r \gt R) \\ 0 \ & (r \lt R) \end{cases}\]均匀带电球体
\[E = \begin{cases} \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{q}{r^2} \ & (r \geq R) \\ \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{rq}{R^3} \ & (r \leq R) \end{cases}\]无限长均匀带电直线
\[E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\]无限长圆柱面
\[E = \begin{cases} 0 \ & (r \lt R) \\ \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} & (r \gt R) \end{cases}\]无限大均匀带电平板
\[E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\]电荷面密度等值异号的无限大均匀带电平行平板间
\[E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\]电势
\[U_a = \frac{W_a}{q_0} = \int_a^{\text{电势零点}} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l}\]通常取无限远作为电势零点
电势的相对值具有实际意义
电势差
\[U_{ab} = U_a - U_b = \int_a^b \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l}\]点电荷电场中的电势分布
\[\begin{aligned} U_P & = \int_P^\infty \vec{E} \mathrm{d}\vec{l} = \int_{r}^\infty \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 t^2} \mathrm{d}t \\ & = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} \ (r \neq 0) \end{aligned}\]多个点电荷进行叠加计算
\[U_P = \sum_{i=1}^n \dfrac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i}\]对应到电荷连续分布
\[U_P = \int \frac{\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0 r}\]其中 $r = r(t)$ 为 $\mathrm{d}q$ 到场点 $P$ 的距离
等势面
- 电荷沿等势面移动，电场力做功为0
- 等势面与电场线处处正交
- 电场线从高电势指向低电势
- 等势线密集处电场线也密集
- 规定相邻等势面间电势差相等
电势与场强的微分关系
\[\vec{E} = - \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n}\vec{e}_n = - \nabla U\]$\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n}$ 为电势沿等势面法线的方向导数
$E_l = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l}$ 为 $\vec{E}$ 在 $l$ 方向的分量
计算方法
场强计算
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已知场强公式
- 场强矢量叠加
-
电场分布具有对称性
- 构造一个闭合曲面，使用高斯定理计算
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电势函数可求/可知
- 对电势取梯度
电势计算
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已知场强分布
- 根据定义式使用路径积分
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电势叠加
- 已知电势公式直接进行叠加计算