大学物理-1质点运动学
位置矢量
aka 位矢、矢径
\[\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}, \\ \Vert \vec{r} \Vert = r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]运动函数
\[\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}\]位移
矢量
\[\Delta\vec{r} = \vec{r}(t+\Delta t) - \vec{r}(t)\]路程
标量
即运动轨迹长
有以下关系:
\[\Delta s \neq \Vert \Delta \vec{r} \Vert, \\ \text{but,} \\ \mathrm{d}s = \Vert \mathrm{d} \vec{r} \Vert\] \[\Vert \Delta \vec{r} \Vert \neq \Delta r, \Vert \mathrm{d} \vec{r} \Vert \neq \mathrm{d} r\]速度
平均速度
\[\bar{\vec{v}} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\]瞬时速度
\[\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d} t}\]速率
平均速率
\[\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}\]瞬时速率
\[v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\]直线运动
只有一维,所有的向量可以当作标量处理
速度
\[v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\]加速度
\[a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}\]圆周运动
角速度
由于
\[s = \theta \cdot R\]故
\[\mathrm{d} s = R\mathrm{d}\theta\]于是
\[\omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{v}{R}\]亦作
\[v = \omega R\]角速度是矢量方向为速度和径矢的叉乘方向,在刚体运动一节将讲述为什么是这样
角加速度
仿照加速度的定义我们有
\[\alpha = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\]自然坐标系
在运动轨道上任一点建立正交坐标系,其一轴沿轨道的切线方向,正方向为运动的前进方向;另一轴沿轨道的法线方向,正方向指向轨道内凹的一侧
我们定义以下符号
- 切向单位矢量 $\vec{\tau}$
- 法向单位矢量 $\vec{n}$
显然有
\[\vec{v} = v\vec{\tau}\] \[\vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{d}t}\vec{\tau} + v \frac{\mathrm{d}\vec{\tau}}{\mathrm{d}t}\]这里运用了向量导数的运算法则
利用自然坐标系分析圆周运动
由熟知的近似 $ s \approx \theta \cdot r $
\[\mathrm{d} \vec{\tau} = \mathrm{d} \theta \vec{n}\]于是
\[\frac{\mathrm{d}\vec{\tau}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\vec{n} = \omega\vec{n} = \frac{v}{R}\vec{n}\]合成的速率变化为
\[\begin{aligned} \vec{a} & = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \\ & = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{\tau} + v\frac{\mathrm{d}\vec{\tau}}{\mathrm{d}t} \\ & = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}v\vec{\tau} + \frac{v^2}{R}\vec{n} \end{aligned}\]角量和线量的关系
由 $ v = R\omega $ 可得
\[a_\tau = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = R\alpha\] \[a_n = \frac{v^2}{R} = R\omega^2\]坐标系变换
伽利略变换
相对做匀速直线运动时
\[\begin{cases} x = x^\prime + vt y^\prime = y z^\prime = z t^\prime = t \end{cases}\] \[\vec{r} = \vec{r}^\prime + \vec{r}_{O^\prime O}^\prime\]绝对速度
\[\vec{v}_S = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\]物体相对于S系（原坐标系）的速度
牵连速度
\[\vec{v}_{O^\prime O} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}_{O^\prime O}}{\mathrm{d}t}\]$S^\prime$ 系相对于 S 系的速度
相对速度
\[\vec{v}_{S^\prime} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}^\prime}{\mathrm{d}t}\]物体相对于 $S^\prime$ 系的速度