工科数学分析-散度定理和高斯公式
散度
\[\mathrm{div} \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\]高斯公式
此公式将第二类将曲面积分与三重积分联系起来
设 $ \Sigma $ 为光滑闭曲面, $V$ 为其所围成的立体区域, $\Sigma$ 的单位外法向为 $\vec{e}_n = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$
\[\iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \oiint_\Sigma \left(P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma\right)\mathrm{d}S\]或者对应地写成坐标积分的形式
\[\iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \oiint_\Sigma P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]或者写成向量形式
\[\iiint_V \mathrm{div} \vec{F} \mathrm{d}V = \oiint_\Sigma \vec{F} \cdot \vec{e}_n \mathrm{d}S\]格林第一公式
这个公式是定积分分部积分公式的推广
\[\iint_\Sigma v\frac{\partial u}{\partial \vec{n}} = \iiint_\Omega \nabla v \cdot \nabla u \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z + \iiint_\Omega v \nabla^2 u \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\]