工科数学分析-10.9傅里叶级数的复数形式

背景

复谐振动

\[x = c\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}\]

其中 $c = r\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}$ 称为复振幅, $\omega$ 称为圆频率

由欧拉公式

\[\begin{aligned} \cosh \mathrm{i}x = \cos x &= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2} \\ \mathrm{i}^{-1}\sinh \mathrm{i}x = \sin x &= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}} \end{aligned}\]

周期为 $2l$ 的 $f(x)$ 的傅里叶级数的复数形式

\[f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{n \pi x}{l}} = c_0 + \sum_{n=1}^\infty \left(c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{n \pi x}{l}} + c_{-n} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{n \pi x}{l}}\right)\]

这个式子中的

\[\begin{cases} c_0 & = \dfrac{a_0}{2} = \dfrac{1}{2l}\int_{-l}^l f(x) \mathrm{d}x \\ \\ c_n & = \dfrac{a_n - \mathrm{i}b_n}{2} = \dfrac{1}{2l}\int_{-l}^l f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{n\pi x}{l}} \mathrm{d} x \\ \\ c_{-n} & = \dfrac{a_n + \mathrm{i}b_n}{2} = \dfrac{1}{2l}\int_{-l}^l f(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{n \pi x}{l}} \mathrm{d} x \end{cases}\]