工科数学分析-10.8任意区间上的傅里叶级数

定义在区间 $[-\pi, \pi]$ 上的函数 $f(x)$ 的傅里叶级数

周期延拓

引入辅助函数 $F(x)$ ,其在区间 $(-\pi, \pi)$ 上有 $F(x) = f(x)$ ,然后令 $F(-\pi) = F(\pi) = f(\pi)$,并将函数 $F(x)$ 按照周期性规律拓展到整个实轴,即 $F(x + 2\pi) = F(x), \forall x$ ,根据收敛定理级数在端点处收敛到 $\dfrac{1}{2}[f(-\pi^+) + f(\pi^-)]$

偶延拓与奇延拓

对一些定义在 $[0, \pi]$ 的函数 $f(x)$ 扩充其在 $(-\pi, 0)$ 的定义时,通常将其扩充为偶函数或奇函数,然后可得到它的余弦级数或正弦级数

区间 $[-l, l]$ 上的傅里叶级数

通过变量代换 $y=\frac{\pi x}{l}$ 则将其变为了在 $[-\pi, \pi]$ 上考虑的傅里叶级数