三角级数

形如

\[\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos n\omega x + b_n \sin n\omega x)\]

$a_0, a_n, b_n$ 称为系数,$\omega$称为圆频率

基本三角函数系

定义在 $\mathrm{C}[-\pi, \pi]$ 上的两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 定义它们的内积为

\[(f(x), g(x)) = \int_{-\pi}^\pi f(x)g(x) \mathrm{d}x\]

\[(f(x), g(x)) = 0\]

$f(x)$ 周期为 $2\pi$ 在 $[-\pi, \pi]$ 可积

\[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx), -\pi \leq x \leq \pi\]

其中

\[a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx \mathrm{d}x\] \[b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx \mathrm{d}x\]

该级数称为 $f(x)$ 的傅里叶级数

数列 $a_0, a_n, b_n$ 称为 $f(x)$ 的傅里叶系数

若 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上只有有限个单调区间,则称 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上逐段单调

设 $f(x)$ 的周期为 $2\pi$

若它满足

(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点

第一类间断点: 左右极限都存在的间断点

(2) 在一个周期内逐段单调

则它的傅里叶级数收敛,且

当 $x$ 是 $f(x)$ 的连续点时,级数收敛于 $f(x)$;

当 $x$ 是 $f(x)$ 的间断点时,级数收敛于 $\dfrac{1}{2} [f(x^-) + f(x^+)]$

由奇函数和偶函数的性质可推出它们的傅里叶级数具有以下性质:

设 $f(x)$ 周期为 $2\pi$

(1) 若 $f(x)$ 为奇函数,则 $f(x)\cos nx$ 也是奇函数,故

\[a_n = \frac{1}{pi} \int_{-\pi}^\pi \cos nx \mathrm{d} x = 0\]

可知它的傅里叶级数只含正弦项,故称为正弦级数

\[f(x) \sim \sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx\]

(2) 若 $f(x)$ 为偶函数,则 $f(x)\sin nx$ 为奇函数,故

\[b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \sin nx \mathrm{d} x = 0\]

可知它的傅里叶级数只含余弦项,故称为余弦级数

\[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx\]