工科数学分析-10.1数列级数的收敛与发散
基本概念
无穷级数
\[\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n\]一般项
上述形式中的 $a_n$ 称为级数的一般项
部分和
\[S_n = \sum_{i=1}^n a_i\]收敛
若 $\lim_{n \to \infty} S_n = S$ ，则称数列级数收敛，且其和为S
余项
称 $r_n = S - S_n = a_{n+1} + a_{n+2} + \ldots$ 为级数的余项
发散
若 $\lim_{n \to \infty} S_n$ 不存在或极限为 $\pm\infty$ ，则称级数发散
柯西准则
级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛的充要条件是
\[\forall \epsilon \gt 0, \exists N, \forall m,n \gt N, m \gt n,\\ |a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_m| \lt \epsilon\]根据数列的柯西收敛准则容易证明
收敛级数的基本性质
性质1：收敛级数的和也收敛
若级数 $\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 都收敛，其和分别为 $s$ 和 $\sigma$ ，则对于任意的常数 $k_1$ 和 $k_2$ ，级数 $k_1\sum a_n + k_2\sum b_n$ 收敛到 $k_1 s + k_2 \sigma$
性质2：级数收敛的必要条件是数列的通项收敛
若级数 $\sum a_n$ 收敛，则
\[\lim_{n \to \infty} a_n = 0\]