大学物理III-7机械波
常用量及其单位
| 物理量 | 字母 | 单位 |
|---|---|---|
| 波速 | $u$ | $\mathrm{m \cdot s^{-1}}$ |
| 波长 | $\lambda$ | $\mathrm{m}$ |
| 频率 | $\nu$ | $\mathrm{Hz}$ |
| 周期 | $T$ | $\mathrm{s}$ |
| 振幅 | $A$ | $\mathrm{m}$ |
| 角频率 | $\omega$ | $\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$ |
公式 & 理论
波长、波速和周期间的关系
\[u = \frac{\lambda}{T} = \lambda \nu\]弹性体的形变规律 (P179)
拉伸或压缩形变（杨氏模量）
$\vec{F}$ 的方向沿着横截面 $S$ 的法线方向
正应力
\[\sigma = \frac{F}{S}\]线应变
\[\epsilon = \frac{\Delta l}{l}\]他们有以下关系
\[\sigma = E \epsilon\]其中的 $E$ 称为杨氏模量
剪切形变（切变模量）
当物体受到一对大小相等、方向相反，不在同一直线上的力，使物体某一截面和另一与它平行的截面产生平行于截面相对移动时，物体的形变叫做剪切形变.
设有一长方体，两端底面收到切向力 $\vec{F}$ 作用，这时产生一切应变
剪切应力
\[\tau = \frac{F}{S}\]切应变的量值使用物体偏移原平面的角度 $\gamma$ 表示
于是
\[\tau = \frac{F}{S} = G \gamma\]其中 $G$ 称为切变模量
容积形变（体积模量）
在弹性体内部划分出一个小立方体，容积为 $V_0$ ，当其受到来自各个方向的正压力（内力）时，容积变为 $V$ ，设立方体的受力面积为 $S$
正应力
\[p = \frac{F}{S}\]体应变
\[\theta = \frac{\Delta V}{V_0} = \frac{V - V_0}{V_0}\]于是
\[p = -K \theta\]其中 $K$ 称为体积模量
各模量与波速的关系
波速 $u$ 决定于介质的性质和状态，即弹性模量和密度
| 介质类型 | 横波波速 | 纵波波速 |
|---|---|---|
| 均匀、各向同性的固体介质中 | $u_{固横} = \sqrt{\dfrac{G}{\rho}}$ | $u_{固纵} = \sqrt{\dfrac{E}{\rho}}$ |
| 液体和气体 | 只有容变弹性，因此只能传播与容变有关的弹性纵波 | $u_{纵} = \sqrt{\dfrac{K}{\rho}}$ |
根据已有实验，若将气体视为理想气体，则气体中的声速
\[u_{声} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}\]其中 $\gamma$ 为气体的比热容比， $M$ 为气体的摩尔质量， $R=8.31 J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ 为普适气体常量， $T$ 为热力学温度
绳的波速与绳张力的关系
在紧绷的柔软绳中，横波的波速为
\[u_线 = \sqrt{\frac{F_T}{\rho_l}} \tag{181}\]$F_T$ 表示绳的张力， $\rho_l$ 为绳的线密度
平面简谐波函数
选取距原点 $O$ 为 $x_0$ 处质点的相位作为参考
$x_0$ 处的振动方程为
\[y_{x_0}(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\]得到这列波的波函数
\[y(x, t) = A\cos\left[\omega\left(t \mp \frac{x-x_0}{u} \right) + \varphi\right]\]其中，选取减号则对应波沿 $x$ 轴的正方向传播，选取加号则对应波沿 $x$ 轴的负方向传播。
这是容易理解的，因为 $ \Delta t = \dfrac{x-x_0}{u} $ 为波传播至点 $x=x_0$ 所用的时间，乘以角频率 $\omega$，也就是原点处质点相对于 $x=x_0$ 处所落后的相位.
对于横波,质点离开平衡位置的位移 $y$ 与波的传播方向 $x$ 轴垂直;而对于纵波,位移 $y$ 沿 $x$ 轴方向.
角频率与频率、周期的关系
\[\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \nu\]质元振动速度
介质中各质元的振动速度 $v$ 与波的传播速度 $u$ 具有不同的意义
振动速度
\[v = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\sin\left[\omega t \mp \omega \omega\frac{x-x_0}{u} + \varphi\right]\]机械波的能量 (P181)
在线密度为 $\rho_l$ 的绳索上有波函数为 $ y = A\cos(\omega t - \dfrac{x}{u}) $ 的一列简谐横波，取一个小质量元
质元动能
\[\mathrm{d} E_k = \frac{1}{2} \, \rho_l \mathrm{d}x \, A^2\omega^2\sin^2\left(\omega t - \omega\dfrac{x}{u}\right)\]质元势能
（省略一系列近似）
\[\begin{aligned} \mathrm{d} E_p &= F_T \left(\frac{\mathrm{d}x}{\cos \theta}\right) - \mathrm{d}x) \\ & = F_T \frac{1-\cos \theta}{\cos \theta} \mathrm{d}x \\ & \approx F_T \, \frac{1}{2} \theta^2 \, \mathrm{d}x \\ & \approx F_T \, \frac{1}{2} \tan^2 \theta \, \mathrm{d}x \\ & = F_T \, \frac{1}{2} \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 \, \mathrm{d}x \\ & = F_T \, \frac{1}{2} A^2\omega^2\frac{1}{u^2}\sin^2\left(\omega t - \omega \frac{x}{u}\right) \, \mathrm{d}x \\ \end{aligned}\] \[\mathrm{d} E_p = F_T \, \frac{1}{2} A^2\omega^2\frac{\rho_l}{F_T}\sin^2\left(\omega t - \omega \frac{x}{u}\right) \, \mathrm{d}x = \mathrm{d} E_k\]质元总机械能
\[\mathrm{d} E = \mathrm{d} E_p + \mathrm{d} E_k = \rho_l \mathrm{d} x A^2\omega^2sin^2\left(\omega t - \omega \frac{x}{u}\right)\]能量密度
绳索单位长度中的能量
\[w(t) = \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d}x} = \rho_l A^2\omega^2\sin^2\left(\omega t - \omega \frac{x}{u} \right)\]质元的动能和势能与时间关系式是相同的，同相且大小相等
把一个周期内能量密度的平均值称为平均能量密度
\[\bar{w} = \frac{1}{T}\int_0^T w(t) \mathrm{d}t = \frac{1}{2}\rho_lA^2\omega^2\]能流和能流密度 (P184)
能流
单位时间内垂直通过某一面积的能量叫做该面积的能流.
设在介质中垂直于波速 $u$ 的方向上取一面积 $S$ ,则在单位时间内通过该面的能量即能流为
\[P = \iint_S wudS = wuS\]取平均能量密度即
\[\bar{P}=\bar{w}uS\]能流密度（波强）
垂直通过单位面积的平均能流叫做能流密度
\[I = \frac{\bar{P}}{S}\]惠更斯原理
波阵面上的没一点都可以看成是发射子波的波源,在其后的任意一个时刻,这些子波的包络面就形成一个新的波阵面.
折射定律
\[n_1\sin i = n_2\sin \gamma\]波的干涉 (P189)
两列波在 $P$ 点处的相位差
\[y_1 = A_1 \cos \left(\omega t - \frac{2\pi r_1}{\lambda} + \varphi_1)\] \[y_2 = A_2 \cos \left(\omega t - \frac{2\pi r_2}{\lambda} + \variphi_2)\] \[\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1)+(\varphi_1-\varphi_2)\]当 $\Delta \varphi$ 为 $2\pi$ 的整数倍时,合成振动的振幅最大, $A_max=A_1+A_2$ ,两分振动相互加强
当 $\Delta \varphi$ 为 $\pi$ 的整数倍时,合成振动的振幅最小, $A_min=|A_1 - A_2 |$ ,两分振动相互减弱
特别地，当 $\varphi_1 = \varphi_2$ ,上述条件可简化为
\[r_2-r_1=\pm k\lambda\]时振动相互加强
\[r_2-r_1=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2}\]时振动相互减弱
驻波
两列振幅相同的相干波相向传播时叠加而成的波叫作驻波
设这两列波为
\[y_1(x,t) = A\cos\left(\omega t-\omega\frac{x}{u}\right)\] \[y_2(x,t) = A\cos\left(\omega t - \omega\frac{x}{u}\right)\]应用和差化积公式
\[\cos A + \cos B = \cos\left(\frac{A+B}{2} + \frac{A-B}{2}\right) + \cos\left(\frac{A+B}{2} - \frac{A-B}{2}\right) = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\]该公式的记忆只要结合