工科数学分析-向量场的旋度与斯托克斯公式
旋度
从一条曲线上的质点开始
给定流速场 $ \vec{F}(x,y,z) $ ,空间直线 $L$ ,考察流速场在 $L$ 上任意一点的流速场的流体质点是否有沿曲线$L$运动的趋势,设 $\mathrm{d}\vec{l}$ 为与流速场切向方向相同的向量，那么考察
\[\vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \|\vec{F}\|\cos<\vec{F}, \mathrm{d}\vec{l}>\]的符号,若为正号则说明流体质点有沿着曲线 $L$ 正向运动的趋势,若为负号,则说明流体质点有沿着曲线 $L$ 负向运动的趋势
环量
设 $\vec{F}(x,y,z)$ 是有界开区域 $\Omega$ 内的一个向量场, $L$ 是 $\Omega$ 内一条分段光滑的有向闭曲线. 称曲线积分
\[\oint_L \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{l}\]为向量场 $ \vec{F} $ 按所取正方向沿曲线 $L$ 的环量
方向不在这条曲线上了
方向旋量
在 $\Omega$ 内取定一点 $M$, 在点 $M$ 处取定一个方向 $\vec{n}$ ,过点 $M$ 作一微小曲面 $\Delta S$ ,它以 $\vec{n}$ 为其在点 $M$ 处的法向量. $\Delta S$ 也表示曲面的面积,同时曲面的边界 $\Delta L$ 的正向与法向量 $\vec{n}$ 构成右手系.
那么称
\[h(M) = \lim_{\Delta S \to M} \frac{\oint_{\Delta L} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{l}}{\Delta S}\]为向量场 $\vec{F}$ 在点 $M$ 绕 $\vec{n}$ 方向的方向旋量(或环量面密度)
旋度
旋度是一个向量,它的方向是方向旋量最大的那个方向,大小等于绕该方向的方向旋量
记作 $\mathrm{rot}\vec{F}$ 或 $\mathrm{curl}\vec{F}$
给它放到坐标轴上
对z轴的旋度
考虑在xy平面上的场 $\vec{F}(x,y) = P(x,y)\vec{i} + Q(x,y)\vec{j}$
在平面上取一个小矩形区域其长和宽分别为 $\Delta x$,$\Delta y$
其上边缘和下边缘对环量的贡献
\[\vec{F}(x, y+\Delta y) \cdot (-\vec{i}) \Delta x - \vec{F}(x, y) \cdot \vec{i} \Delta x = -[P(x,y+\Delta y) - P(x, y)]\Delta x \approx -\frac{\partial P}{\partial y}\Delta y\Delta x\]其左边缘和右边缘对环量的贡献
\[\vec{F}(x + \Delta x, y) \cdot \vec{j} \Delta y + \vec{F}(x, y) \cdot \vec{j} \Delta y = [Q(x + \Delta x, y) + Q(x, y)]\Delta y \approx \frac{\partial Q}{\partial x}\Delta x\Delta y\]即得
\[\lim_{\Delta x \Delta y \to 0} = \frac{\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\Delta x \Delta y}{\Delta x \Delta y} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\]由于这是在二维平面上的场，其旋度方向只能在z轴方向上，于是以上式子结果即为旋度在z轴上的分量
同时，我们发现这正是格林公式二重积分中的被积函数，即
\[\oint_L \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{s} = \oint_L P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = \iint_D \mathrm{rot}\vec{F} \cdot \vec{k} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\]空间向量场的旋度
实际上,将空间向量场 $\vec{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\vec{i} + Q(x,y,z)\vec{j} + R(x,y,z)\vec{k}$ (投影到各个坐标平面后,其在某点的旋度的各坐标分量可以由上面的过程给出（证明略）,于是
\[\mathrm{rot} \vec{F}(x,y,z) = \nabla \times \vec{F} = \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x & y & z \\ \end{pmatrix}\]斯托克斯公式
在正则有向曲面 $S$ 的区域中定义有向量场 $\vec{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\mathrm{d}x + Q(x,y,z)\mathrm{d}y + R(x,y,z)\mathrm{d}z$,$P$,$Q$,$R$ 均具有一阶连续偏导数,设 $S$ 的边界曲线为 $L$
\[\oint_L P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z = \iint_S \mathrm{rot}\vec{F} \mathrm{d}\vec{S} = \iint_S \nabla \times \vec{F} \mathrm{d}\vec{S}\]引入旋度的计算公式后，格林公式也可对应写为（以下记号继续使用格林公式中的条件）
\[\oint_L P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = \iint_D \mathrm{rot}\vec{F} \cdot \vec{k} \mathrm{d} x \mathrm{d}y = \iint_D \nabla \times \vec{F} \cdot \vec{k} \mathrm{d}x \mathrm{d}y\]